Question

如何用向量的方法证明正弦和余弦定理？

Answer 1

△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°-A，j与向量CB的夹角为90°-C

∵AC+CB=AB

在向量等式两边同乘向量j，得：

j·（AC+CB）=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

=│j││AB│cos(90°-A)

∴asinC=csinA    （AB的模=c，cos（90º-C）=sinC）（CB的模=a，cos（90º-A）=sinA

∴a/sinA=c/sinC    

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

扩展资料

利用三角形的面积证明余弦定理

已知△ABC，设BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足为D.

则Rt△ADB中，sinB=AD/AB

∴AD=AB·sinB=csinB

∴S△ABC=1/2a·AD=1/2acsinB

同理可证S△ABC=1/2absinC=1/2bcsinA

即S△ABC=1/2acsinB=1/2absinC=1/2bcsinA

∴absinC=bcsinA=acsinB

在等式两端同时除以ABC，可得sinC/c=sinB/b=sinA/a