Question

若函数f(x)=(x +a)(bx +2a)是偶函数，(a ,b均为常数)且它的值域为（负无穷，4],则该函数的解析式f(x)等于

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Answer 1

f(x)=(x +a)(bx +2a)=bx^2 + (2a+ab)x + 2a^2
f(-x) = bx^2 - (2a+ab)x + 2a^2
因为是偶函数，所以f(x)=f(-x)
即(2a+ab)x = - (2a+ab)x ，所以2a+ab=0
所以f(x) = bx^2 + 2a^2
有最大值，说明抛物线开口朝下，b<0，最大值为2a^2 = 4
a=根号2或 -根号2， b=-2(根据2a+ab=0）
f(x) = -2x^2 + 4

Answer 2

f(x)=(x+a)(bx+2a)
若b=0，则f(x)=x+a不可能是偶函数，∴b≠0.
f(x)=bx²+a(b+2)x+2a²，
∵f(x)为偶函数，图象的对称轴为x=0，
∴a(b+2)=0，

若a=0，则f(x)=bx²，则其值域与已知矛盾，
∴a≠0，b= -2，f(x)= -2x²+2a².
又函数的值域为（－∞，4 ]，
∴2a²=4，a²=2，
∴函数f(x)的解析式为f(x)= -2x²+4.