Question

在三角形ABC中,角ABC的对边分别为abc，且满足(2b-c)cosA-acosC=0

1.求角A的大小
2.若a=根号3，S三角形ABC=(3根号3)/4，试判断三角形ABC的形状，并说明理由

Answer 1

（1）在△ABC中，由射影定理可知，b=ccosA+acosC,
(2b-c)cosA-acosC=0
2bcosA=ccosA+acosC
2bcosA=b
cosA=1/2，0º<C<180º，
∴角A=60º；

（2）由（1）知，角A=60º，cosA=1/2，sinA=(√3)/2，
∵三角形ABC的面积=(1/2)bcsinA=(3√3)/4
∴bc=3；

由余弦定理得，
a²=b²+c²-2bccosA，
将a=√3，A=60º ，bc=3代入上式，
得b²+c²=6，
(b+c)²=b²+c²+2bc=12
b+c=2√3
由b+c=2√3 ，bc=3，得b=c=√3，
又a=√3，
∴△ABC是边长为√3的等边三角形.

Answer 2

(2b-c)cosA-acosC 正弦定理
=(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC
=2sinBcosA-(sinCcosA+sinAcosC)
=2sinBcosA-sin(A+C)
=2sinBcosA-sinB
=sinB(2cosA-1)=0
由于sinB不等于0，所以（2cosA-1)=0，cosA=1/2 A=π/3
(2)S三角形ABC=1/2bcsinA=(根号3)bc/4==(3根号3)/4
解得bc=3
余弦定理有
a^2=b^2+c^2-2bccosA
3=b^2+c^2-3bc
联立解得
a=b=c=根号3
所以ABC为等边三角形