Question

初二几何（平行四边形判别）

如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC=√5，对角线AC,BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F.
（1）证明：当旋转角为90°是，四边形ABEF是平行四边形。
（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等。
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形么，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针转的度数。

Answer 1

（1）证明：当旋转角魏90°时，可知EF⊥AC,
∵AB⊥AC ∴EF‖AB
又∵AF‖BE ∴四边形ABEF是平行四边形
(2)∵平行四边形对角线相互平分，∴AO=CO
∵∠AOF=∠COE,∠FAO=∠ECO
∴△AOF≌△COE ∴AF=CE
(3)在旋转过程中，当BD⊥EF时，四边形BEDF可能是菱形,
证明：由（2）中△AOF≌△COE 可得OF=OE
又∵OB=OD,BD⊥EF,∴四边形BEDF是菱形
旋转的角度是：在直角△ABC中,根据勾股定理可计算出AC=2
在直角△ABO中，AB=1，AO=AC÷2=1，∴∠AOB=45°
∴∠AOF=90°－45°=45°
∴旋转的角度45°

Answer 2

∠AOF=90°时，AB和EF平行，所以1得证
旋转过程中由ASA得三角形AOF和COE始终全等。从而2得证
在三角形ABC中由已知得AC=2，所以OC=1，所以三角形ABO是等腰直角三角形，所以脚AOB=45°。若BEDF为菱形，则∠BOF=90°，则AOF=45°，即旋转45°。

好像是05 06 某地的中考题。