Question

已知定义在R上的函数f（x)满足：对于任意实数a,b,总有f(a+b)=f(a)+f(b).

(1)求f(0);(2)判断f(x)的奇偶性。（3）若x>0时，f(x)>0.判断f(x)的单调性。并给出证明。

Answer 1

⑴令a=b=0
则f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
⑵令a=-b
则0=f(0)=f(a+(-a))=f(a)+f(-a)
∴f(-a)=-f(a)
即函数为奇函数
⑶任取x1＜x2，则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>0
f(x2)-f(x1)=f(x1+(x2-x1))-f(x1)
=f(x1)+f(x2-x1)-f(x1)
=f(x2-x1)＞0
∴f(x)为增函数