Question

已知a为常数，若（a-1）x-a放+1≥0的解集为x≤-2，求a的值（温馨提示：a方-1=（a+1））数学问题

Answer 1

（1）f（x）=x（x-a）2=x3-2ax2+a2x，则f'（x）=3x2-4ax+a2=（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，得x=a或
a
3
，而g（x）在x＝
a−1
2
处有极大值，
∴
a−1
2
＝a⇒a＝−1，或
a−1
2
＝
a
3
⇒a＝3；综上：a=3或a=-1． （4分）
（2）假设存在，即存在x∈(−1，
a
3
)，使得f（x）-g（x）=x（x-a）2-[-x2+（a-1）x+a]=x（x-a）2+（x-a）（x+1）=（x-a）[x2+（1-a）x+1]＞0，
当x∈(−1，
a
3
)时，又a＞0，故x-a＜0，
则存在x∈(−1，
a
3
)，使得x2+（1-a）x+1＜0，（6分）1°当
a−1
2
＞
a
3
即a＞3时，(
a
3
)2+(1−a)(
a
3
)+1＜0得a＞3或a＜−
3
2
，∴a＞3；2°当−1≤
a−1
2
≤
a
3
即0＜a≤3时，
4−(a−1)2
4
＜0得a＜-1或a＞3，∴a无解；
综上：a＞3． （9分）
（3）据题意有f（x）-1=0有3个不同的实根，g（x）-1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
（ⅰ）g（x）-1=0有2个不同的实根，只需满足g(
a−1
2
)＞1⇒a＞1或a＜−3；
（ⅱ）f（x）-1=0有3个不同的实根，1°当
a
3
＞a即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍；2°当
a
3
＝a即a=0时，不符合题意，舍；3°当
a
3
＜a即a＞0时，f（x）在x＝
a
3
处取得极大值，f(
a
3
)＞1⇒a＞
3
3 2

2
；所以a＞
3
3 2

2
；
因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故a＞
3
3 2

2
；（注：a＞
3

3 4

也对）（12分）
下证：这5个实根两两不相等，
即证：不存在x0使得f（x0）-1=0和g（x0）-1=0同时成立；
若存在x0使得f（x0）=g（x0）=1，
由f（x0）=g（x0），即x0（x0-a）2=-x02+（a-1）x0+a，
得（x0-a）（x02-ax0+x0+1）=0，
当x0=a时，f（x0）=g（x0）=0，不符合，舍去；
当x0≠a时，既有x02-ax0+x0+1=0①；
又由g（x0）=1，即-x02+（a-1）x0+a②；
联立①②式，可得a=0；
而当a=0时，H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]=（x3-1）（-x2-x-1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当a＞
3
3 2

2
时，函数y=H（x）有5个不同的零点．

追问

这个不涉及函数啊

追答

跟你这个是有联系的啊

追问

我才初一，不知道什么是函数啊

Answer 2

(a-1)x-a²+1≥0
则(a-1)x≥a²-1
则(a-1)x≥（a-1)(a+1)
两边同除a-1.我们知道不等式两边同时乘以负数不等好改变方向，所以a-1≤0
原不等式可化为x≤a+1
由题知道x≤-2
所以a+1=-2，那么a=-3

Answer 3

原式是(a-1)x-a^2+1吗？

追问

恩

追答

原式可化(a-1)x>=a^2-1
(a-1)x>=(a+1)(a-1)
当a-1>0时，得x>=a+1与原不等式的解集x<=-2茅盾
当a-1=0时，不等式不成立
当a-1<0时，得x<=a+1,
将x<=a+1代入解集，即a+1<=-2,得a<=-3