Question

函数f;N+→R满足f(1)=1且对任意正整数n都有f(1)+2f(2)+...+nf(n)=n^2f(n)

函数f;N+→R满足f(1)=1且对任意正整数n都有f(1)+2f(2)+...+nf(n)=n^2f(n)，求f（2014）

Answer 1

n≥2时，
f(1)+2f(2)+...+nf(n)=n²·f(n) (1)
f(1)+2f(2)+...+(n-1)f(n-1)=(n-1)²·f(n-1) (2)
(1)-(2)
nf(n)=n²·f(n)-(n-1)²·f(n-1)
n(n-1)·f(n)=(n-1)²·f(n-1)
n≥2，n-1>0，等式两边同除以n-1
n·f(n)=(n-1)·f(n-1)
f(1)=1
1×f(1)=1×1=1，数列{n·f(n)}是各项均为1的常数数列。
n·f(n)=1
f(n)=1/n
f(2014)=1/2014
提示：本解法可以求任意项的值。

Answer 2

f(n)=1/n
【归纳法很好证得：(前面检验过程略),设f(n)=1/n,则(n+1)^2f(n+1)=f(1)+2f(2)+3f(3)+nf(n)+(n+1)f(n+1)=1+2*1/2+3*1/3+...+n*1/n+(n+1)f(n+1),所以n(n+1)f(n+1)=1*n=n,所以f(n+1)=1/(n+1)】
f(2014)=1/2014