Question

已知f（x）=3x，并且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x的定义域为区间[-1，1]．（1）求函数g（x）的解析式；（2

已知f（x）=3x，并且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x的定义域为区间[-1，1]．（1）求函数g（x）的解析式；（2）用定义证明g（x）在[-1，1]上为单调递减函数；（3）若函数y=f（x）-4和g（x）值域相同，求y=f（x）-4的定义域．

Answer 1

（1）∵f（a+2）=18，f（x）=3^x，
∴3^a+2=18?3^a=2，
∴g（x）=（3^a）^x-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]…（4分）
（2）g（x）=2^x-4^x，x∈[-1，1]，任取实数x₁，x₂满足-1≤x₁＜x₂≤1

g(x1)?g(x2)＝2x1?4x1?(2x2?4x2)＝2x1?4x1?2x2+4x2   ＝2x1?2x2+(2x2)2?(2x1)2   ＝(2x2?2x1)(2x1+2x2?1)

y=2^x为单调递增函数，-1≤x₁＜x₂≤1，则2x2?2x1＞02x1≥2?1＝

1

2

，2x2＞2x1≥

1

2

，
则2x1+2x1＞1
则g（x₁）-g（x₂）＞0，于是g（x）在[-1，1]上为单调递减函数…（8分）
（3）令t=2^x，x∈[-1，1]，则2^x∈[

1

2

，2]，?t-t²=-（t-

1

2

）²+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
于是g（x）值域为[-2，

1

4

]，则y=f（x）-4值域为[-2，

1

4

]即
-2≤3x-4≤

1

4

，得log₃2≤x≤log3

17

4

，
即y=f（x）-4的定义域为：[log₃2，log3

17

4

]；