Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosA= 4 5 ，b=5c．（1）求sinC的值；（2）求

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosA= 4 5 ，b=5c．（1）求sinC的值；（2）求sin（2A+C）的值；（3）若△ABC的面积 S= 3 2 sinBsinC ，求a的值．

Answer 1

（1）∵a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA= 26 c 2 -10 c 2 × 4 5 =18c 2 ， ∴ a=3 2 c ． ∵ cosA= 4 5 ，0＜A＜π，∴ sinA= 3 5 ． ∵ a sinA = c sinC ， ∴ sinC= csinA a = c× 3 5 3 2 c = 2 10 ； （2）∵c＜a，∴C为锐角， ∴ cosC= 1- sin 2 C = 7 2 10 ． ∵ sin2A=2sinAcosA=2× 3 5 × 4 5 = 24 25 ， cos2A=2co s 2 A-1=2× 16 25 -1= 7 25 ， ∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC = 24 25 × 7 2 10 + 7 25 × 2 10 = 7 2 10 ； （3）∵b=5c，∴ sinB sinC = b c =5 ，sinB=5sinC． ∴ 3 2 sinBsinC= 15 2 si n 2 C= 3 20 ． 又∵S= 1 2 bcsinA= 3 2 c 2 = a 2 12 ， ∴ a 2 12 = 3 20 ， ∴ a= 3 5 5 ．