(2006?莱芜)如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠
(2006?莱芜)如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函...
(2006?莱芜)如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式;(2)如果∠BAC=α,∠DAE=β,当α,β满足怎样的关系时,(1)中y与x之间的函数关系式还成立?试说明理由.
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(1)在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠ABD=∠ACE=105°,
∵∠DAE=105°,
∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC,
∴
=
即
=
,所以y=
;
(2)当α、β满足关系式β-
=90°时,函数关系式y=
成立,
理由如下:∵β-
=90°,
∴β-α=90°-
.
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB,
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-
-∠DAB,
∴∠ADB=∠EAC;
又∵∠ABD=∠ECA,
∴△ADB∽△EAC,
∴
=
,
∴
=
,
∴y=
.
∴∠ABC=∠ACB=75°,
∴∠ABD=∠ACE=105°,
∵∠DAE=105°,
∴∠DAB+∠CAE=75°,
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC,
∴
AB |
EC |
BD |
AC |
即
1 |
y |
x |
1 |
1 |
x |
(2)当α、β满足关系式β-
α |
2 |
1 |
x |
理由如下:∵β-
α |
2 |
∴β-α=90°-
α |
2 |
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB,
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-
α |
2 |
∴∠ADB=∠EAC;
又∵∠ABD=∠ECA,
∴△ADB∽△EAC,
∴
AB |
EC |
BD |
AC |
∴
1 |
y |
x |
1 |
∴y=
1 |
x |
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