已知函数f(x)=e x (ax+b),曲线y=f(x)经过点P(0,2),且在点P处的切线为l:y=4x+2.(1)求常数a

已知函数f(x)=ex(ax+b),曲线y=f(x)经过点P(0,2),且在点P处的切线为l:y=4x+2.(1)求常数a,b的值;(2)求证:曲线y=f(x)和直线l只... 已知函数f(x)=e x (ax+b),曲线y=f(x)经过点P(0,2),且在点P处的切线为l:y=4x+2.(1)求常数a,b的值;(2)求证:曲线y=f(x)和直线l只有一个公共点;(3)是否存在常数k,使得x∈[-2,-1],f(x)≥k(4x+2)恒成立?若存在,求常数k的取值范围;若不存在,简要说明理由. 展开
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千石抚子mycx5
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(1)f′(x)=e x (ax+a+b)…(1分),
依题意,
f(0)=2
f / (0)=4

e 0 (a×0+b)=2
e 0 (a×0+a+b)=4
…(3分),
解得a=b=2…(5分).
(2)记g(x)=e x (ax+b)-(4x+2)=2e x (x+1)-2(2x+1),
则g′(x)=2e x (x+2)-4…(6分),
当x=0时,g′(x)=0;
当x>0时,g′(x)>0;
当x<0时,g′(x)<0…(8分),
∴g(x)≥g(0)=0,等号当且仅当x=0时成立,
即f(x)≥4x+2,等号当且仅当x=0时成立,曲线y=f(x)和直线l只有一个公共点…(9分).
(3)x∈[-2,-1]时,4x+2<0,
∴f(x)≥k(4x+2)恒成立当且仅当 k≥
f(x)
4x+2
=
e x (x+1)
2x+1
…(10分),
h(x)=
e x (x+1)
2x+1
,x∈[-2,-1],
h / (x)=
e x (2 x 2 +3x)
(2x+1) 2
…(11分),
由h′(x)=0得x=0(舍去), x=-
3
2
…(12分)
-2≤x<-
3
2
时,h′(x)>0;
-
3
2
<x≤-1
时,h′(x)<0…(13分),
h(x)=
e x (x+1)
2x+1
在区间[-2,-1]上的最大值为 h(-
3
2
)=
1
4
e -
3
2
,常数k的取值范围为 (
1
4
e -
3
2
,+∞)
…(14分).
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