Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn=an+12-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a2=4a1+5；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1anan+1＜12．

Answer 1

（1）当n=1时，4a1＝

a

2 2

?5，

a

2 2

＝4a1+5，
∵an＞0∴a2＝

4a1+5

（2）当n≥2时，满足4Sn＝

a

2 n+1

?4n?1，n∈N*，且4Sn?1＝

a

2 n

?4(n?1)?1，
∴4an＝4Sn?4Sn?1＝

a

2 n+1

?

a

2 n

?4，
∴

a

2 n+1

＝

a

2 n

+4an+4＝(an+2)2，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2，
∴当n≥2时，{a_n}是公差d=2的等差数列．
∵a₂，a₅，a₁₄构成等比数列，∴

a

2 5

＝a2?a14，(a2+6)2＝a2?(a2+24)，解得a₂=3，
由（1）可知，4a1＝

a

2 2

?5＝4，∴a₁=1∵a₂-a₁=3-1=2，
∴{a_n}是首项a₁=1，公差d=2的等差数列．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1．
（3）由（2）可得式

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)．
∴

1

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