Question

已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）

已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）． 由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3， 即a 2 x+ab+b=4x-3，所以， a 2 =4 ab+b=-3 ， 解得： a=2 b=-1 或 a=-2 b=3 ， 因为a＞0，所以a=2，b=-1． 所以f（x）=2x-1； （2）由f（x）＜m，得m＞2x-1． 不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立， 即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立， 因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max （x）=f（2）=3． 所以m＞3． 所以，不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立的实数m的取值范围（3，+∞）．