Question

在三角形ABC中，已知c＝acosB，b＝asinC，此三角形为什么三角形

在三角形ABC中，已知c＝acosB，b＝asinC，此三角形为什么三角形求详细过程最好写在纸上谢谢。

Answer 1

解法一：同时运用余弦定理、正弦定理
由余弦定理得cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
由已知c=acosB得cosB=c/a
c/a=(a²+c²-b²)/(2ac)
整理，得b²+c²=a²
三角形是直角三角形，A=π/2，B、C均为锐角
b=asinC，由正弦定理得
sinB=sinAsinC=sin(π/2)sinC=sinC
B、C均为锐角，B=C
综上，得：三角形一定是等腰直角三角形。

解法二：运用正弦定理
c=acosB
由正弦定理得sinC=sinAcosB
sin(A+B)=sinAcosB
sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB
cosAsinB=0
B为三角形内角，sinB恒>0，因此只有cosA=0
A为三角形内角，A=π/2
三角形为直角三角形，A为直角，则B、C均为锐角。
b=asinC，由正弦定理得
sinB=sinAsinC=sin(π/2)sinC=sinC
B、C均为锐角，B=C
综上，得：三角形一定是等腰直角三角形。

解法一先运用余弦定理，再运用正弦定理；解法二直接运用正弦定理，并运用了和差角公式，两种解法的结果是一样的，三角形一定是等腰直角三角形。