Question

已知：梯形ABCD中，AB‖CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12,AB+CD=13，求梯形的面积

已知四边形ABCD中，AC和BD相交与点O，且∠AOD=90°，求证（1）AD²+BC²=AB²+CD² （2）若BC=2AD，AB=12,CD=9，求四边形ABCD的周长.

Answer 1

第一题：从B做BE平行AC且交DB的延长线于E点，，另作BF垂直于DC于F点
由于AB‖DE，AC‖BE，所以有AC=BE=5，AB=CE
所以不难求出：DE=DC+CE=DC+AB=13，由勾股定理知道三角形DBE为直角三角形，角DBE=90度 所以DB*BE=DE*BF 所以求得BF=60/13
所以梯形面积为：1/2*(AB+CD)*BF=30
第二题：1） 由对顶角和互补角的关系，知道角AOD,DOC,AOB,BOC是四个直角，那么：AD²=AO^2+DO^2 BC^2=BO^2+OC^2
AB^2=AO^2+BO^2 CD^2=DO^2+OC^2
所以不难得出AD²+BC²=AB²+CD²
2），由第一问得知：5AD^2=AB^2+CD^2=225，所以AD^2=45 AD=3倍根号5
所以BC=6倍根号5
所以周长为：AB+BC+CD+AD=21+9倍根号5

Answer 2

过B作BE‖AC，交DC延长线于E点

CE=AB

DE=CD+CE=13
AC=5，BD=12

勾股定理可知三角形DBE为直角三形，面积可求

Answer 3

1、∠AOD=90°，故AC与BD垂直。
AO²+DO²=AD² （1）
AO²+BO²=AB² （2）
BO²+CO²=BC² （3）
CO²+DO²=DC² （4)
(1)+(3)=(2)+(4),即证。

2、将数值代入以证明等式中，则有12*12+9*9=5AD²，算出AD即可。