Question

在△ABC中,∠B>∠C,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求证：∠DAE=1/2（∠B-∠C).

在△ABC中,∠B>∠C,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线。求证：∠DAE=1/2（∠B-∠C).

Answer 1

思路分析：欲证∠DAE=1/2（∠B-∠C)，在几何证明题里面，三角形一角减去另一角等于某个角度比较困难，拆开利用三角形外角和定理或许更为容易些，即证明∠B=2∠DAE+∠C或许更容易。

证明：

（1）假若∠B(∠ABC)是钝角，如图1所示，

∠B(∠ABC)

= ∠ADB + ∠DAB

=90°+ ∠DAB

=∠ABD + ∠DAB + ∠DAB

=∠AEB + ∠EAB + 2∠DAB

=∠C + ∠EAC + ∠EAB + 2∠DAB

=∠C + 2∠EAB + 2∠DAB

=∠C + 2∠DAE

即，∠DAE=1/2（∠B-∠C)。

（2）假若∠B(∠ABC)是锐角，如图2所示，

∠B(∠ABC)

=90°- ∠DAB

=90°- (∠EAB - ∠DAE)

=90°- ∠EAB + ∠DAE

=90°- ∠EAC + ∠DAE

=90°- (∠DAC - ∠DAE) + ∠DAE

=90°- ∠DAC + 2∠DAE

=∠C + 2∠DAE

即，∠DAE=1/2（∠B-∠C)。

（3）假若∠B(∠ABC)是直角，同（2）理可以证明∠DAE=1/2（∠B-∠C)（点D与点B重合）。