Question

a,b,c是正数，如果关于x的方程c²x²+（a²-b²-c²）x+b²=0没实数根

证明：以a,b,c,为长的线段可以组成三角形（8年级数学）

Answer 1

c²x²+（a²-b²-c²）x+b²=0没实数根
判别式=（a²-b²-c²）^2-4*c^2*b^2＜0
(a^2-b^2-c^2+2bc)(a^2-b^2-c^2-2bc)＜0
[a^2-(b-c)^2][a^2-(b+c)^2]＜0
(a+b-c)(a-b+c)(a+b+c)(a-b-c)＜0
a、b、c为正数，所以（a+b+c)＞0
∴(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)＜0
∴(a+b-c)、(a-b+c)、(a-b-c)三者同时小于0，或者两个大于零一个小于零

假设(a+b-c)、(a-b+c)、(a-b-c)三者同时小于0，即：
a+b-c＜0......（1）
a-b+c＜0......（2）
a-b-c＜0......（3）
（1）+（2）得：
2a＜0（负数＋负数=负数）,与a＞0矛盾
假设不成立

假设只有a+b-c＜0,即：
a+b-c＜0......（1）
a-b+c＞0......（2）
a-b-c＞0......（3）
（1）*（2）得：a^2-(b-c)^2＜0（负正得负），a＜b-c
(2)+（3）得：2a-2b大于零（两正数相加仍为正）,a＞b，与a＜b-c矛盾
假设不成立

同理a-b+c也不可能小于零

所以唯一一种可能就是：
a+b-c＞0......（1）
a-b+c＞0......（2）
a-b-c＜0......（3）
这时，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，所以能够围成三角形。

Answer 2

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