Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当0＜x≤1时，f（x）=3^x+2

1.当-1≤x＜0时，求f（x）的解析式；
2.求f（log3（54））的值
我要全过程！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

第一题，主要利用奇函数的定义来作，设x属于【-1,0），-x属于（0,1】，故有奇函数定义知：f（x）=-f（-x）=-【3^（-x）+2】
第二题，根据f（x+2）=-f（x）知，函数f（x）的周期是4。（这是结论若满足f（x+a）=-f（x），则周期为2a）。下来主要利用周期把自变量log3（54）转化到-1到1之间，因为我们知道定义在这个区间上的解析式。利用单调性知：3=log3（27）<log3（54）<log3（81）=4,从而-1<log3（54）-4<0，
故f（log3（54））=f（log3（54）-4）=-3.5，但注意恒等式a的（以a为底，b的对数）次幂等于b。

解，（1）设x属于【-1,0），从而-x属于（0,1】，故有奇函数定义知：
f（x）=-f（-x）=-【3^（-x）+2】
所以f（x）=-f（-x）=-【3^（-x）+2】（-1≤x＜0）
（2）因为f（x+2）=-f（x）
所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即周期为4。
又因为根据单调性知：
3=log3（27）<log3（54）<log3（81）=4,
故-1<log3（54）-4<0
所以
f（log3（54））=f（log3（54）-4）=-3.5

Answer 2

⑴∵x∈[-1,0）
∴-x∈（0,1]
∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f(-x)=-f（x）
∴当-1≤x＜0时，
f（x）=-f（-x）=-[3^（-x）+2]
⑵由f（x+2）=-f（x）知，函数f（x）的周期是4
log3(54)-4∈[-1,0)
∵3=log3（27）<log3（54）<log3（81）=4,
∴-1<log3（54）-4<0，
∴f（log3（54））=f（log3（54）-4）=-3.5

Answer 3

第一问很简单，令x属于[-1,0)，则-x属于(0,1]，根据奇函数性质得f(-x)=-f(x),得出－1≤x＜0时的f(x)

2)f(x+2)=-f(x)得最小正周期T=4，然后log3(54)-4属于[-1,0)，带入上题函数解出函数值即可