Question

怎样证明对数函数是上凸函数（用基本不等式）

如上

Answer 1

有问题呀，
对数函数f(x)=log(a)x (a>0且a≠1)
当a>1时，函数是凸函数。
当0<a<1时，函数是凹函数。

当a>1时，任取0<x1<x2
f(x1)=log(a)x1,f(x2)=log(a)x2
f(x1)+f(x2)
=log(a)x1+log(a)x2
=log(a)(x1x2)
[f(x1)+f(x2)]/2=log(a)√(x1x2)

f[(x1+x2)/2]
=log(a)[(x1+x2)/2]
根据均值定理，
(x1+x2)/2>√(x1x2)
(x1<x2,取不到等号）
∴[f(x1)+f(x2)]/2<f[(x1+x2)/2]
∴f(x)是凸函数

当0<a<1时，
∵ (x1+x2)/2>√(x1x2)
两边取对数
得到[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]
∴f(x)是凹函数