Question

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB于D,AE平分∠CAB交CD于E,交BC于F，过E作EH平行AB，交BC于H 求证

如图,RT三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直于AB于D,AE平分∠CAB交CD于E,交BC于F，过E作EH平行AB，交BC于H

求证：CF=BH

Answer 1

过F点作FM⊥AB，∵CD⊥AB，∴FM‖CD
∵AE为∠CAB的角平分线，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠CEF=∠AED=∠CFE，CF=FM
∴CF=CE
∵FM‖CD，FM⊥AB
∴△CEH≌△FMB（AAS）
∴CH=FB
∴CH-FH=FB-FH
即CF=BH
总结：（1）当出现角平分线和90°或者垂直的时候要想到角平分线定理和作垂线
（2）证明两条线段相等常用的有以下几个方法（初中阶段）：
① 中点分开的两条线段相等。（直角三角形斜边中线等于斜边一半）
② 特定的图形等腰三角形、等腰梯形、等边三角形的两个腰相等。
长方形，正方形，平行四边形对边相等，筝形相邻的两条边相等。
③ 角平分线上的点到角的两边距离（垂线段）相等。
④ 和同一条边（或两条相等的边）相等的两条边相等。
⑤ 相等的边加上（或减去）同一条边（或者两条相等的边）的两条边相等。
⑥ 中垂线上的点到底边两端点连线的两条线段相等。
⑦ 由三角形全等证出两条边相等。

Answer 2

过F点作FM⊥AB，∵CD⊥AB，∴FM‖CD
∵AE为∠CAB的角平分线，∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠CEF=∠AED=∠CFE，CF=FM
∴CF=CE
∵FM‖CD，FM⊥AB
∴△CEH≌△FMB（AAS）
∴CH=FB
∴CH-FH=FB-FH
即CF=BH