Question

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2 =（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2 =（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x） 2 [1+x]=（1+x） 3 （1）上述分解因式的方法是 　　 法，共应用了 　　 次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1） 2 +…+x（x+1） 2010 ，则需要应用上述方法 　　 次，分解因式后的结果是 　　 ．（3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1） 2 +…+x（x+1） n （n为正整数），必须有简要的过程．

Answer 1

（1） 提取公因式  2  （2） 2010 （1+x） 2011  （3）（1+x） n+1

试题分析：（1）首先提取公因式（1+x），再次将[1+x+x（1+x）]提取公因式（1+x），进而得出答案； （2）根据（1）种方法即可得出分解因式后的结果； （3）参照上式规律即可得出解题方法，求出即可． 解：（1）根据已知可以直接得出答案： 提取公因式，2； （2）2010，（1+x） 2011 ； （3）解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x） （n﹣1） ]， =（1+x） 2 [1+x+x（1+x）x（1+x） （n﹣2） ]， =（1+x） n+1 ． 点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，做题的关键是：①正确找到公因式，②注意观察寻找规律．