Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．（1）若△ABC是直角

在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，求|OD|的最小值．

Answer 1

（1）由题意得

AB

=（t-4，2），

AC

=（2，t），

BC

=（6-t，t-2），
若∠A=90°，则

AB

?

AC

=0，即2（t-4）+2t=0，∴t=2；
若∠B=90°，则

AB

?

BC

=0，即（t-4）（6-t）+2（t-2）=0，∴t=6±2

2

；
若∠C=90°，则

AC

?

BC

=0，即2（6-t）+t（t-2）=0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2

2

．
（2）若四边形ABCD是平行四边形，则

AD

=

BC

，设D的坐标为（x，y），
即（x-4，y）=（6-t，t-2），∴

x?4＝6?t y＝t?2

即D（10-t，t-2），
∴|

OD

|=

(10?t)2+(t?2)2

=

2t2?24t+104

，
∴当t=6时，|

OD

|的最小值为4

2

．