Question

如图所示在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P和CB1

如图所示在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：①异面直线C1P和CB1所成的角为定值；②二面角P-BC1-D的大小为定值；③三棱锥D-BPC1的体积为定值；④直线CP与直线ABC1D1所成的角为定值．其中真命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

对于①因为在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，有正方体的及题意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以①正确；
对于②因为二面角P-BC₁-D的大小，实质为平面ABC₁D₁与平面BDC₁所成的二面角而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故②正确；
对于③三棱锥D-BPC₁的体积还等于三棱锥的体积P-DBC₁的体积，而平面DBC₁为固定平面且大小一定，又因为P∈AD₁，而AD₁∥平面BDC₁，所以点A到平面DBC₁的距离即为点P到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
对于④由线面夹角的定义，令BC₁与B₁C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP与平面ABC₁D₁所成的角，当P移动时这个角是变化的，故④错误；
故选C