Question

已知数列 满足 ， ， ．（1）若 成等比数列，求 的值；（2）是否存在 ，使数列 为等差数列？若存

已知数列 满足 ， ， ．（1）若 成等比数列，求 的值；（2）是否存在 ，使数列 为等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由．

Answer 1

已知数列 满足 ， ， ． （1）若 成等比数列，求 的值； （2）是否存在 ，使数列 为等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由．

（1） ；（2）存在，当a 1 ＝1时，数列{a n }为等差数列．

试题分析：（1）首先利用递推公式把 都用 表示，再根据 成等比数列，列方程解出 的值.（2）对于这类开放性问题，处理的策略就是先假设存在a 1 ，使数列{a n }为等差数列，与（1）类似，根据 成等差数列，有 ，从面得到关于 的方程，方程若有解则存在，否则可认为不存在a 1 ，使数列{a n }为等差数列. 试题解析：（1）∵0＜a 1 ＜2， ∴a 2 ＝2－|a 1 |＝2－a 1 ，a 3 ＝2－|a 2 |＝2－|2－a 1 |＝2－(2－a 1 )＝a 1 ． ∵a 1 ，a 2 ，a 3 成等比数列， ∴a 2 2 ＝a 1 a 3 ，即(2－a 1 ) 2 ＝a 1 2 ， 解得a 1 ＝1．                            6分 （2）假设这样的等差数列存在，则 由2a 2 ＝a 1 ＋a 3 ，得2(2－a 1 )＝2a 1 ， 解得a 1 ＝1． 从而a n ＝1（n∈N * ），此时{a n }是一个等差数列； 因此，当且仅当a 1 ＝1时，数列{a n }为等差数列．           12分