Question

将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E

将一副三角板如图放置，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在点D处，三角板的两边与AB，AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合．（1）请你说明△DEF一定为等腰直角三角形；（2）证明点E、F到线段BC的距离之和为定值．

Answer 1

（1）解：连接AD，如图，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，∠EAD=45°，AD=DC，AD⊥BC，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△EDA和△FDC中，

∠EAD＝∠C ∠EDA＝∠FDC AD＝CD

，
∴△EDA≌△FDC（AAS），
∴ED=FD，
∴△EDF是等腰直角三角形；

（2）证明：过点E、F分别作BC的垂线交BC于点G、H，如图，
∵∠FDH=∠ADE，
又∵∠EGD=∠ADC=90°，
∴EG∥AD，
∴∠GED=∠ADE，
∴∠FDH=∠GED，
在△EDG和△FDH中，

∠GED＝∠HDF ∠EGD＝∠FHD＝90° ED＝FD

，
∴△EDG≌△FDH（AAS），
∴GD=FH，
又∵△BEG是等腰直角三角形，
∴EG=BG，
∴EG+FH=BG+DG=BD，
∴点E、F到BC的距离之和为定值，是△ABC斜边长的一半．

Answer 2

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