Question

如何证明有理数是最小数域

Answer 1

数域简单的说就是含有0和1的集合对于四则运算封闭（计算结果仍属于这个集合）。

有理数的定义：有理数可以写成两个整数指比的数（所以有理数之间除法结果必然还是有数）。

有理数集是不是数域：显然成立。事实上，因为它包含0,1并且它对四则运算封闭（任意两个有理数相加相减结果显然是有理数，有理数相乘相除的结果也是有理数）。

有理数域是最小的数域：

1、其他数域都包含有理数域。因为有理数集是实数集，复数集的真子集。那么以这些集合为基础构造出的集合（例如：Q(sqrt(2)),高斯数域等等）必然不会跑出最大数集——复数集，也必然包含有理数域（因为整数集不是域）。

2、整数集不是数域：整数集包含0,1，它对加法减法乘法都封闭，但对除法不封闭。例如：1/2=0.5；1,2是整数但除法结果0.5不是整数。所以，整数集不是数域。

3、比有理数集还小的整数集不是数域，但有理数集是数域且是其他数域的真子集，所以有理数域是最小的数域。

Answer 2

就是设x是个有理数，例如x=m/n，m是整数，n是正整数（m的正负与x相同），且m和n互质。由此去推理，如果能求出m和n，则x是有理数；如果推出矛盾，则x是无理数。
例如√2的无理性就是这么证明的（两边平方，……，发现m和n又有公因子了），我们都会了。
再比如，像0.101001000100001...这个数的无理性，我们是设它的循环节有n位来导出矛盾的。

然而，此方法并不是万能的。例如π和e（自然对数的底）的无理性，用上述办法证明是几乎不可能的。所以它们的无理性都有各自的证法。

再比如，e^π（e的π次方）这个数，是否是无理数争议了很久。就是因为无法去证明或否定。

事实上，无理数远比想象的多，不存在一个一般的证法去证明或否定一切数是否是有理数。