Question

已知等差数列{an}，公差d不为零，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数

已知等差数列{an}，公差d不为零，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列；（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足bn＝an?3n?1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）由a₂，a₅，a₁₄成等比数列，
∴(a5)2＝a2a14，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得，d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）由（1）可得：bn＝(2n?1)?3n?1，
∴Sn＝1×1+3×31+5×32+…+（2n-1）?3^n-1，
3Sn＝3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3^n-1+（2n-1）?3ⁿ，
∴两式相减得：
-2Sn＝1+2×(3+32+…+3n?1)?(2n?1)?3ⁿ=1+2×

3(3n?1?1)

3?1

?(2n?1)?3n=1+3ⁿ-3-（2n-1）?3ⁿ
∴S_n=（n-1）?2ⁿ+1．