Question

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．（1）若a5=

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．（1）若a5=b5，q=3，求数列{an?bn}的前n项和；（2）若存在正整数k（k≥2），使得ak=bk．试比较an与bn的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）依题意，a5=b5=b1q5-1=1×34=81，
故d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19，
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)?3n-1，①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)?3n-1+(20n-19)?3n，②
①-②得，-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)?3n=1+20×

3(1-3n-1)

1-3

-(20n-19)?3n=（29-20n）?3ⁿ-29，
所以Sn=

(20n-29)?3n+29

2

．             
（2）因为a_k=b_k，所以1+（k-1）d=q^k-1，即d=

qk-1-1

k-1

，
故an=1+(n-1)

qk-1-1

k-1

，
又  bn=qn-1，
所以bn-an=qn-1-[1+(n-1)

qk-1-1

k-1

]
=

1

k-1

[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=

q-1

k-1

[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)]，
（ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，
bn-an=

q-1

k-1

[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]＜

q-1

k-1

[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)