Question

已知定义域为R的函数f（x）=b?2x2x+1+a是奇函数．（1）求实数a，b的值； （2）判断并证明f（x）在（-∞

已知定义域为R的函数f（x）=b?2x2x+1+a是奇函数．（1）求实数a，b的值； （2）判断并证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2-kt）+f（2-kt）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由于定义域为R的函数f（x）=

b?2x

2x+1+a

是奇函数，
则

f(0)＝0 f(?1)＝?f(1)

即

b?1＝0 b? 1 2 1+a ＝? b?2 4+a

，解得

b＝1 a＝2

，
即有f（x）=

1?2x

2+2x+1

，经检验成立；
（2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
证明：设任意x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

1?2x1

2(1+2x1)

-

1?2x2

2(1+2x2)

=

2x2?2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
由于x₁＜x₂，则2^x₁＜2^x₂，则有f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（3）不等式f（kt²-kt）+f（2-kt）＜0，
由奇函数f（x）得到f（-x）=-f（x），
f（kt²-kt）＜-f（2-kt）=f（kt-2），
再由f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，
则kt²-kt＞kt-2，即有kt²-2kt+2＞0对t∈R恒成立，
∴k=0或

k＞0 △＝4k2?8k＜0

即有k=0或0＜k＜2，
综上：0≤k＜2．