Question

若有某个有间断点的函数f，假设有原函数F，，那么在分段点处的原函数F的导数f不存在，则可以证明该函

若有某个有间断点的函数f，假设有原函数F，，那么在分段点处的原函数F的导数f不存在，则可以证明该函数的整个原函数F都不存在？

Answer 1

你对什么样的函数可积认识不够。虽然一般的教程，是先讲不定积分，再讲定积分。但是定积分比不定积分更基本，更底层。这怎么讲呢？看完我下面的论述你就懂了。

数分教程会告诉你这么一个定理：闭区间上的函数可积（这里是求定积分的意思）的充要条件是随着小区间的个数n趋近无穷大，达布上和-达布下和趋近0。

由此可以推出：1、闭区间上的连续函数可积。2、闭区间上的单调函数可积。3、闭区间上只有有限个间断点的分段连续函数可积。

连续函数的变上限积分是它的一个原函数。只有有限个间断点的分段连续函数，在每一个分区间上是有原函数的。在整个大区间上是否有原函数呢？这个问题需要两说，要看间断点的类型。

如果间断点是因为函数在该点没定义，那么这个点就不是定义域，这种情况是可以说他有原函数。

实际上，考虑一个有间断点的函数有没有原函数，是没有太大意义的。我们需要明确的是，闭区间上的连续函数一定可积，从而其变上限积分一定是它的原函数。对于有间断点的函数，我们只需要更改定义域，去掉间断点，只考虑分段连续的区间就够了。

补充一点，微积分注重局域化，注重在充分小的邻域内考虑问题。