Question

计算二重积分∫∫x²/y²dxdy,其中d由直线y=2,y=x及双曲线xy=1所围成

Answer 1

解答：

联立解 y=x,xy=1,得第一象限交点 (1,1),则

∫∫ x^2/y^2dxdy = ∫(1/y^2)dy∫ x^2dx

= ∫ 1/y^2dy[x^3/3]∫

= (1/3)∫ (y-1/y^5)dy

= (1/3)[y^2/2+1/(4y^4)] = 27/64

意义

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

Answer 2

如图所示：

追问

原函数(1/6)*y²＋1/12*y∧-4没错吧？

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示