Question

证明可导的奇函数的导数是偶函数

Answer 1

设
f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置
x0
g(x0)
=
lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0)
=
lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx
=
lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
=
lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是
g(x0)的表达式，而右端即为
-g(-x0)的表达式。
即
g(x0)
=
-
g(-x0)
x0
具备任意性，因此
g(x)
=
-
g(-x)
即在
f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数。求证命题成立。