Question

设f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明：至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 1

假如不存在f(ξ)=ξ
1.f(ξ)＞ξ.
f（x）在[a，b]上都在f(x)=x的上面
不可能与f（a）连续.
2.同理f(ξ)＜ξ.
f（x）在[a，b]上都在f(x)=x的下面
不可能与f（b）连续
与命题矛盾
故
至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 2

令F（x）=f（x）-x那么
F（a）=f(a)-a<0
F（b）=f(b)-b>0
所以根据根的存在性定理可得
至少存在一点ξ∈（a，b)，使得F(ξ)=0
所以.至少存在一点ξ∈（a，b)，使得f(ξ)=ξ.

Answer 3

用零点定理方可：
设
g(x)=f(x)-x
则g(x)在[a,b]上连续，且
g(a)=f(a)-a<0
,
g(b)=f(b)-b>0,
有零点定理知，存在ξ，使得
g(ξ)=
f(ξ)-
ξ=0
故
f(ξ)=ξ