Question

高等代数理论基础10：有理系数多项式

Answer 1

每个次数 的有理系数多项式都能唯一地分解称不可约的有理系数多项式的乘积

1.有理系数多项式的因式分解问题可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题,进而解决求有理系数多项式的有理根问题

2.在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式

给定有理系数多项式f(x)

取 ,使得cf(x)为整系数多项式

若cf(x)各项系数有公因子,则提取公因子得

即

其中g(x)是整系数多项式,且各项系数没有异于 的公因子

定义：若一个非零的整系数多项式 的系数 没有异于 的公因子,即它们互素,则称g(x)为一个本原多项式

注：任何一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积,即

以上表示法除了差一个正负号是唯一的,即

若 ,其中 都是本原多项式,则必有

f(x)与g(x)仅差一个常数倍,故f(x)的因式分解问题可以归结为本原多项式g(x)的因式分解问题

一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积一致

引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式

证明：

定理：若一非零整系数多项式能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积

证明：

推论：设f(x),g(x)是整系数多项式,且g(x)是本原的,若f(x)=g(x)h(x),其中h(x)是有理系数多项式,则h(x)一定是整系数的

定理：给定整系数多项式f(x), ,若 是f(x)的一个有理根,其中r,s互素,则 ,特别地,若f(x)的首项系数 ,则f(x)的有理根都是整根,且是 的因子

证明：

例：证明 在有理数域上不可约

证：

定理：给定整系数多项式f(x), ,若有一素数p使得

1.

2.

3.

则f(x)在有理数域上不可约

证明：

例：对任意的n,多项式 在有理数域上是不可约的

注：在有理数域上存在任意次数的不可约多项式