Question

高等代数理论基础69：线性函数

Answer 1

定义：设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,若 ,f满足

1.

2.

则称f为V上的一个线性函数

性质：

1.设f是V上的线性函数

则 ,

证明：

2.若 是 的线性组合

则

例：

1.设 是P中任意数, 为 中的向量

函数 即P上的一个线性函数

当 时, ,称为零函数,可用0表示零函数

注： 上的任一线性函数都可表成这种形式

令

中任一向量 可表成

设f是 上一个线性函数

则

令

则 即上述形式

2.A是数域P上一个n级矩阵

设

则A的迹 是P上全体n级矩阵构成的线性空间 上的一个线性函数

3.设 ,t是P中一个取定的数,定义P[x]上的函数 为

则 为 在t点的值

是 上的线性函数

若V是数域P上一个n维线性空间,取定V的一组基 ,对V上任意线性函数f及V中任意向量

有 ,故 由 的值唯一确定

反正,任给P中n个数 ,定义V上一个函数f

为一个线性函数,且

定理：设V是P上一个n维线性空间, 是V的一组基, 是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数f,使