已知函数f(x)=x³+ax²+x+1,a∈R（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间 10
2个回答
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答：
1)
a=2时：
f(x)=x³+ax²+x+1
=x³+2x²+x+1
求导：
f'(x)=3x²+4x+1
=(3x+1)(x+1)
解f'(x)=0得：x1=-1/3，x2=-1
当x<-1或者x>-1/3时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数
当-1<x<-1/3时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数
所以：
单调递增区间为（-∞，-1）或者（-1/3，+∞）
单调递减区间为（-1，-1/3）
2)
根据上述1）的解答可以知道：
f'(x)=3x²+2ax+1在区间[-2/3，-1/3]上恒小于0
抛物线f'(x)开口向上：
f'(-2/3)=4/3-4a/3+1<=0，a>=7/4
f'(-1/3)=1/3-2a/3+1<=0，a>=2
综上所述，a>=2
1)
a=2时：
f(x)=x³+ax²+x+1
=x³+2x²+x+1
求导：
f'(x)=3x²+4x+1
=(3x+1)(x+1)
解f'(x)=0得：x1=-1/3，x2=-1
当x<-1或者x>-1/3时，f'(x)>0，f(x)是单调递增函数
当-1<x<-1/3时，f'(x)<0，f(x)是单调递减函数
所以：
单调递增区间为（-∞，-1）或者（-1/3，+∞）
单调递减区间为（-1，-1/3）
2)
根据上述1）的解答可以知道：
f'(x)=3x²+2ax+1在区间[-2/3，-1/3]上恒小于0
抛物线f'(x)开口向上：
f'(-2/3)=4/3-4a/3+1<=0，a>=7/4
f'(-1/3)=1/3-2a/3+1<=0，a>=2
综上所述，a>=2
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