Question

已知直角梯形ABCD中，AD平行于BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3㎝，BC=9㎝。圆O1

已知直角梯形ABCD中，AD平行于BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3㎝，BC=9㎝。圆O1的圆心O1从点A开始沿A-D-C折线以1㎝每秒的速度向点C运动，圆O2的圆心O2从点B开始沿BA边以根号3厘米每秒的速度向点A运动，如果圆O1半径为2㎝，圆O2的半径为4㎝，若O1,O2分别从点A,B同时出发，运动时间为ts。（1）求出圆O2与腰CD相切时t的值；（2）在0s＜t≤3s的范围内，当t为何值时，圆O1与圆O2外切？

Answer 1

你好，解析如下：
(1)
作DE‖AB,交CB于E,
CE=BC-BE=BC-AD=9-3=6(cm)；
∠DEC=90°，∠C=60°，故∠CDE=30°，
DC=2CE=2*6=12(cm)；
DE²=CD²-CE²=4CE²-CE²=3CE²
DE=CE√3=6√3（cm）=AB;
设O2经过ts运动到F点时与腰CD相切于G,
FB=2tcm；
连接FG,FG⊥DC,
FG=⊙O2的半径=4cm;
过G作GH⊥AB于H,GH交DE于P;
∠DPG=∠AHG=90°,
GH‖CB,∠DGH=∠C=60°,∠HGF=∠DGF-∠DGH=90°-60°=30°,
HF=GF/2=4/2=2(cm)
GH=HF√3=2√3(cm)
GP=GH-PH=GH-DA=2√3-3(cm)；
DP=AH=AB-HF-FB=6√3-2-2t(cm)；
GP:DP=CE:DE
2√3-3：6√3-2-2t=6:6√3
t=-4+(9√3)/2(s)

(2)
t=3s时，O1在A点右侧3cm；O2在B点左侧6cm，3+6=9<6√3;故考虑O1、O2如图的相对位置不变时，⊙O1与⊙O2外切情况；
设⊙O1与⊙O2外切时，O1位于Q，O2位于R,
则QR=⊙O1半径+⊙O2的半径=2+4=6(cm)
AQ=tcm，RB=2tcm，
AQ+QR+RB=AB
t+6+2t=6√3
t=-2+2√3(s)
希望对你有帮助！给个好评吧，谢谢你了！