Question

已知函数f（x）=-2x 2 +（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函

已知函数f（x）=-2x 2 +（a+3）x+1-2a，g（x）=x（1-2x）+a，其中a∈R．（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[-1，3]上的最小值；（2）用函数的单调性的定义证明：当a=-2时，f（x）在区间 ( 1 4 ，+∞) 上为减函数；（3）当x∈[-1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）是偶函数 ∴f（x）=f（-x），即：-2x 2 +（a+3）x+1-2a=-2x 2 -（a+3）x+1-2a ∴a=-3 则f（x）=-2x 2 +7 ∴对称轴为x=0 ∴最小值f（3）=-11 （2）∵a=-2 ∴f（x）=-2x 2 +x+5 设x 1 ＜x 2 ，x 1、 x 2 ∈ ( 1 4 ，+∞) f（x 1 ）-f（x 2 ）=-2x 1 2 +x 1 +5+2x 2 2 -x 2 -5=（x 2 -x 1 ）[2（x 1 +x 2 ）-1] ∵x 1 ＜x 2 ，∴x 2 ＞x 1 ∵x 1、 x 2 ∈ ( 1 4 ，+∞) ∴2（x 1 +x 2 ）＞1∴2（x 1 +x 2 ）-1＞0 ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0 即f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴当a=-2时，f（x）在区间 ( 1 4 ，+∞) 上为减函数． （3）由题意得-2x 2 +（a+3）x+1-2a＞x（1-2x）+a在[-1，3]上恒成立．即（a+2）x+1-3a＞0在[-1，3]上恒成立． 设h（x）=（a+2）x+1-3a， ①若a＞-2，该函数是增函数，只需f（-1）＞0即可， 则f（-1）=-4a-1＞0，解得a＜- 1 4 ，所以-2＜a＜- 1 4 ； ②若a＜-2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可， 则f（3）=7＞0，，所以a＜-2满足； ③若a=-2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=-2满足要求． 故a的取值范围是a＜ - 1 4 ．