Question

已知二次函数y=f（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a n }的前n项和为S n ，点（n

已知二次函数y=f（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a n }的前n项和为S n ，点（n，S n ）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图像上，（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 ，T n 是数列{b n }的前n项和，求使得T n ＜ 对所有n∈N*都成立的最小正整数m。

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Answer 1

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)=ax 2 +bx(a≠0)，则f′(x)=2ax+b， 由于f′(x)=6x-2，得a=3，b=-2， 所以f(x)=3x 2 -2x， 又因为点 均在函数y=f（x）的图像上，所以S n =3n 2 -2n， 当n≥2时，扒滚a n =S n -S n-1 =（3n 2 -2n）-[3（n-1） 2 -2（n-1）]=6n-5， 当n=1时，a 1 =S 1 =3×1 2 -2=6×1-5， 所以，a n =6n-5（n∈N*）； （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 ， 故T n = ， 因此，要使 成立的m，必须且仅须满足 ，即m≥燃此磨皮斗10，所以满足要求的最小正整数m为10。