Question

（2014?嘉兴二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中

（2014?嘉兴二模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=θ，E是棱PD的中点．（Ⅰ）若θ=60°，求证：AE⊥平面PCD；（Ⅱ）求θ的值，使二面角P-CD-A的平面角最小．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：当θ=60°时，
∵AD∥BC，AB=AD=2BC=2．
∴CD⊥AD．
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∴CD⊥平面PAD．
又AE?平面PAD，∴CD⊥AE．
又PA=AD，E是棱PD的中点，
∴PD⊥AE．
∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．（7分）
（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz，
则P（0，0，2），B（2sinθ，2cosθ，0），
C（2sinθ，2cosθ+1，0），D（0，2，0）．
∴

DP

＝(0，?2，2)、

DC

＝(2sinθ，2cosθ?1，0)．
设平面PCD的法向量为

n

＝(x，y，z)，
则

n ⊥ DP n ⊥ DC

?

?2y+2z＝0 (2sinθ)x+(2cosθ?1)y＝0

，
取y=1，得

n

＝(

2cosθ?1

2sinθ

，1，1)．
又平面ABCD的法向量为

m

＝(0，0，1)．
设二面角P-CD-A的平面角为α，
则cosα＝

| m ? n |

| m |?| n |

＝

1

( 2cosθ?1 2sinθ )2+2

，
要使α最小，则cosα最大，即

2cosθ?1

2sinθ

＝0，
∴cosθ＝

1

2

，得θ＝

π

3

．（8分）