Question

已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及

已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．

Answer 1

（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=-cosC，
由题设及余弦定理得，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC?CDcosC=13-12cosC，…①
在△ABD中，BD²=AB²+DA²-2AB?DAcosA=5+4cosC，…②
由①②得cosC＝

1

2

，故C=60°，
则BD＝

7

．
（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，
由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积S＝S△ABD+S△BCD＝

1

2

AB?DAsinA+

1

2

BC?CDsinC
=

1

2

(1×2+2×3)×

3

2

＝2

3

．                 
由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径R＝

BD

2sin60°

＝

21

3

．