Question

求解两道证明题

Answer 1

1、假设R(A)=n，则A可逆，所以由AB=0得B=0，与B≠0矛盾。所以R(A)＜n。
2、A≠0，所以R(A)≥n。由矩阵秩的性质，乘积的秩不超过每一个因子的秩，所以R(A)≤R(b1,b2,...,bn)=1。所以R(A)=1。
计算得，A^2=(a1b1+a2b2+...+anbn)A，所以存在常数k＝a1b1+a2b2+...+anbn，使得A^2=kA。

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注：这里的k未必非零，比如取a1=a2=1,a3=...=an=0，b1=1，b2=-1,b3=...=bn=0，A≠0，但是A^2=0，所以k＝0。

追问

第一题为什么 AB＝0.就B=0

哦……都没看懂

第一题A可逆，则|Al≠0..跟AB=0,则B=0有什么关系呢

第二题，A≠0，则R(A)≥0为什么？？？

拜托

追答

A可逆，在AB=0的两边，从左边乘以A的逆矩阵，就是B=0。

非零矩阵的秩至少是1。

Answer 2

f mjelkQMNMKLQ3

追问

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