Question

已知椭圆c：x的平方/a平方十y平方/b平方=1，（a>b>o）的左右焦点为F1,F2，离心率为根

已知椭圆c：x的平方/a平方十y平方/b平方=1，（a>b>o）的左右焦点为F1,F2，离心率为根号3/3，过F2的直线l交c于AB两点，若三角形AF1乃的周长为4倍根号3，求c的方程为多少

Answer 1

首先先化简椭圆的方程.因为F2(c,0),A(0,b).所以直线AF2的斜率kAF2=-b/c.所以过点A与AF2垂直的直线的方程为y-b=(c/b)x.所以Q(-b²/c,0).因为F1是QF2的中点,所以c-(b²/c)=-2c.即3c²=b²=a²-c²可得a²=4c².因此椭圆方程可化为3x²+4y²=12c².接下来求解m的取值范围.由题意可知直线L的方程为y=k(x-c).其中k≠0.设M(x1,y1),N(x2,y2).MN中点为B(x0,y0).联立椭圆C与直线L的方程可得3x²+4k²(x²+c²-2cx)=12c².整理得x²(4k²+3)-8k²cx+4c²(k²-3)=0由韦达定理得x1+x2=8k²c/4k²+3,所以x0=4k²c/4k²+3,而2y0=y1+y2=k(x1+x2)-2kc=-6kc/4k²+3..所以y0=-3kc/4k²+3.因此B(4k²c/4k²+3,-3kc/4k²+3).要使PMPN为邻边的平行四边形为菱形,只需P在直线MN的中垂线上.因此有3kc/4k²+3=-1/k[m-(4k²c/4k²+3)]=-m/k+4kc/4k²+3即m/k=kc/4k²+3所以m=k²c/4k²+3=c/[4+(3/k²)].-----①--------------------------------------------------------------------------------------请楼主检验自己有无抄漏条件,因为如果c无法求出,从①式根本不可能求得具体范围.我没打草稿纸,都是用脑子算,然后一步一步打下来的.

追问

是三角形AF1B的周长为4倍根号3

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