Question

两个高一数学题

1.求函数y=4^x- a·2^(x+1) +5(0≤x≤2)的最小值及相应的x的值
2.已知集合P=[1/2,2]，函数f(x)=log2(ax^2-2x+2). 若函数f(x)的定义域为(-无穷,+无穷),求实数a的取值范围. 若函数f(x)的定义域为T，且P∩T≠∅，求实数a的取值范围.

谢谢了

Answer 1

1.设2^x＝t ∵0≤x≤2 ∴1≤t≤4
则y＝t^2－2at＋5
得到关于t的二次函数 对称轴为t＝a／2
当a／2＞4 即a＞8时 t＝4时 y最小＝21－8a
当a／2＜1 即a＜2时 t＝1时 y最小＝6－2a
当1≤a／2≤4时 即2≤a≤8时 t＝a／2时 y最小＝5－(3／4)×a^2
综上 当a＞8时 x＝2时 y最小＝21－8a
当a＜2时 x＝0时 y最小＝6－2a
当2≤a≤8时 x＝㏒(a／2） （以2为底数 a／2为对数）
2.当f(x)的定义域为（-∞，+∞）时
ax^2-2x+2＞0对x∈R恒成立
则需 a＞0 且 最小值（8a-4）／4a＞0
解得 a＞1／2
当函数f(x)的定义域为T，且P∩T≠∅时
即ax^2-2x+2＞0 在P上有解
设t(x)＝ax^2-2x+2 对称轴为 x＝1／a
当a＜0时 显然不成立
当a＝0时 需2x＋2＞0 x＞－1 在P上有解 成立
当a＞0时 若1／a＞2 即 0＜a＜1／2 需t（1／2）＞0
解得a＞－4 则只需0＜a＜1／2
若1／a＜1／2 即 a＞2 需t（2）＞0
解得a＞1／2 舍去
若1／2≤1／a≤2 即 1／2≤a≤2 需t（1／2）＞0或t（2）＞0
解得1／2≤a≤2
综上可得 0＜a≤2