Question

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠DCA=∠DAC=15°求证:BD=AB

如图

Answer 1

证明：（注：利用假设是相等，根据度数找出相似三角形，利用勾股定理和相似比倒推出一个等式，这个等式就是直角三角形的2种面积表示方式，再反过来写过程就ok了）
延长CD与AB交与E点，利用外角性质得：∠ADE=30°
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∠DCA=∠DAC=15°
∴∠DAB=90-15=75°，因内角和得∠ADE=75°
∴AD=DE=CD=1/2CE，即CE=2AD
∵在Rt△ACE中，因为2种不同的面积公式表示方式得：
AC×AE=CE×1/2AD（两边1/2都约掉，30°角所对的边（高）是斜边（AD）的一半）
∴AC×AE=AD²
展开成比例式：
AC/AD=AD/AE
又因为共角∠DAB=75°
∴△DAE∽△BDA
∴△BDA为等腰三角形
∴AB=BD