Question

函数f(x)为任意实数x，y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]且f(x)不恒为0，则f(x)的奇偶性是？

要过程

Answer 1

已知对任意x,y有f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]
取y=0得到2f(x)=2[f(x)+f(0)]，所以f(0)=0
再取x=0得到f(y)+f(-y)=2[f(0)+f(y)]
整理得到f(-y)=2f(0)+f(y)=f(y)
注意y的任意性，所以f(x)是偶函数

又因为f(x)不恒为0，不妨令f(x0)>0，则f(-x0)=f(x0)>0
可见f(x)必定不是奇函数

Answer 2

令x=y=0
则f(0)+f(0)=4f(0),得f(0)=0
令x=0
则f(y)+f(-y)=2f(y)
推出f(y)=f(-y)