Question

已知函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),则函数f(x)的奇偶性是?(麻烦写一下关键步骤就可以了)

谢谢

Answer 1

奇函数
因为x,y是任意取的，则令x=y=0,
有f(0)=2f(0),所以f(0)=0
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)

Answer 2

由f(x+y)=f(x)+f(y)
可知，
当x=y=0时，可得f(0)=0,
当x+y=0时，有f(0)=f(x)+f(-x).
故函数f(x)为奇函数。

Answer 3

令x=y=0可得：
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
再令y=-x,得
f（x-x）=f（x）+f（-x)=f(0)
f(x)=-f(-x)
所以为奇函数

Answer 4

f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
解得 f（0）=0
f(-x)=f(-x-x+x)=f(-2x)+f(x)

f(-x)=f(-2x)+f(x)
f(-x)=f(-x-x)+f(x)
f(-x)=f(-x)+f(-x)+f(x)
f(x)+f(-x)=0
f(x)=-f(-x)
可得 函数为奇函数