Question

已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0，f(x)<0 判

已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0，f(x)<0
判断f(x)的单调性并证明

Answer 1

因为f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(0+0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0
令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0，所以f(x)为奇函数
设x1<x2，令x=x2，y=x1，则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)，又因为f(x)为奇函数，所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)
因为x1<x2，则x2-x1>0，即f(x2-x1)<0，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)单减