Question

如图,矩形ABCD中,P是AD上一动点,对角线AC,BD交于O,PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,AQ⊥BD于Q,求证:AQ=PE+PF

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Answer 1

由于是矩形，所以矩形被对角线所分成的四个三角形面积都相等
即S△AOB=S△AOD
又S△AOB=BO*AQ/2
连结PO，则S△AOD=S△AOP+S△DOP=AO*PE/2+DO*PF/2
∵BO=AO=OD
故S△AOD=BO*PE/2+BO*PF/2
由S△AOB=S△AOD，消去BO/2，得AQ=PE+PF

Answer 2

由D做AC的垂线，交AC于M，所以DM垂直于AC。
因为三角形ABD与三角形ACD有相同的面积，BD=AC，所以DM=AQ。同面积等底，则高相等。
三角形ADM与三角形APE相似（同角直角三角形）,所以PE/DM = AP/AD.
同理
三角形AQD与三角形DPF相似，所以PF/AQ = DP/AD
PF/AQ + PE/DM = AP/AD + DP/AD = 1。
又因为AQ = DM，所以PF/AQ + PE/DM = PF/AQ + PE/AQ = (PF+PE)/AQ = 1。
所以PF+PE = AQ

Answer 3

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