Question

（2013?太仓市二模）如图，已知圆心为C（0，1）的圆与y轴交于A，B两点，与x轴交于D，E两点，且DE=42．点Q

（2013?太仓市二模）如图，已知圆心为C（0，1）的圆与y轴交于A，B两点，与x轴交于D，E两点，且DE=42．点Q为⊙C上的一个动点，过Q的直线交y轴于点P（0，-8），连结OQ．（1）直径AB=______；（2）当点Q与点D重合时，求证：直线PD为圆的切线；（3）猜想并证明在运动过程中，PQ与OQ之比为一个定值．

Answer 1

（1）解：∵圆心为C（0，1）的圆与y轴交于A，B两点，与x轴交于D，E两点，且DE=4

2

，
∴DO=OE=2

2

，CO=1，
∴CD=3，
∴AB=2×3=6；

（2）证明：连接CD，
∵

OC

OD

=

OD

OP

=

2

4

，
∠COD=∠DOP=90°，
∴△COD∽△DOP，
∴∠CDO=∠DPO，
∵∠DPO+∠ODP=90°，
∴CD⊥DP，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为圆的切线；

（3）猜想：PQ：OQ=3：1，
证明：作QH⊥y轴于点H，设Q（x，y）
∵点Q在圆上，
∴CQ=3，即QH ²+CH ²=9，
∴x ²+（1-y） ²=9，
分别在Rt△OQH和Rt△PQH中，
得：QO ²=x ²+y²，QP²=x ²+（-8-y）²，
∴QP²=x²-（1-y） ²+（-8-y）²=9（8+2y），
QO ²=x²-（1-y） ²+y²=8+2y，
∴PQ：OQ=3：1．
故答案为：6．